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2020年四川事业单位职测:异素分堆,在混乱中看清本源
作者:yslyl 来源:易尚教育 时间:2020-10-15 10:29:59 阅读:48 分享至:

【导读】

四川事业单位考试网为帮助各位考生顺利备考事业单位招聘考试,今天为大家带来数量关系:异素分堆,在混乱中看清本源。

各位同学大家好,相信大家在备考数量关系时,对于排列组合的题目都感觉比较头疼,而在排列组合问题中,分堆问题又是比较容易弄错或者产生混乱的一类题型。分堆问题主要分为同素分堆和异素分堆,同素分堆问题其实就是隔板模型,共有三种常见考法,都可以采用隔板法进行求解,难度并不是太高;但是异素分堆问题,本身并没有固定的解法,而且由于其本身的特殊性,是否需要乘以顺序就成了学生最困惑的问题。那么,各位亲爱的同学们,请问你是否也有这样的困惑呢?

那么本期,老师就给大家总结一下这类看似复杂、混乱的异素分堆问题,怎么去做才能不会出错,同时,也会把常考的异素分堆问题的最优解法,给各位同学们总结清楚。那么接下来,请大家跟着老师好好学,仔细阅读这篇文章,你应该会有所收获的!

方法精讲

异素分堆问题,在常考题型中主要分为两种:异素均匀分堆和异素不均匀分堆。

这两者有什么区别呢?我们先来看看异素均匀分堆:

所谓的异素,就是指被分的元素是不相同的,有区别的。均匀分堆,则是指分完后每一堆的数量一样,比如说四个不同颜色的小球,分作两份,每份分两个,这就是异素均分。

那么异素均分问题怎么解呢?我们先来看一个例题:

【例1】将甲、乙、丙、丁四个工作人员分作两个小组,每组两人,有多少种分法?

根据上面的描述我们知道,这是一道异素均分问题。根据题意,首先应该从四个人中选取两人,剩下的两人自行组成一组,根据这种想法,列式应该是种分法。但是根据常识我们知道,四个工作人员分成两个小组,应该只能分成(甲乙、丙丁),(甲丙、乙丁),(甲丁、乙丙)3种情况。那也就是说,在原列式中出现了重复。问题出现在哪里呢?我们一起思考一下,原列式是,如果第一次选择的是甲乙两个工作人员,那么剩下的就是丙丁;但如果第一次选择的是丙丁两个工作人员,那么剩下的就是甲乙。你会发现,这两种选择方法最终形成的两组人员都是(甲乙、丙丁),他是没有区别的、是重复的。因为如果是分成两个均等的小组,那么在原列式上还要再除以一个,才是不重复的正确列法,即是种分法。

所以,这个一直困惑我们的重复在哪里的问题,各位同学现在应该清楚了吧?

但是我们的异素均分问题,其实还有一种分堆后还需要分配的问题,这种题型和刚才的问题有什么区别呢?让我们一起来看一道例题:

【例2】将甲、乙、丙、丁四个工作人员分作两个小组,每组两人,分别去A、B两个地区工作,有多少种分法?

根据上面的描述我们知道,这是一道异素均分问题。根据题意,首先应该从四个人中选取两人,剩下的两人自行组成一组,形成两个两人小组之后再进行分配。根据上一题的分析,分成两个两人小组的正确列式应该是种分法。然后再进行对A、B两个地区的分配,两个小组分配给A、B两个地区,应乘以,所以总列式为种。同学们会发现,此时的列式化简后,相当于。

也可以这么理解,在异素均分的分配中,可以“指定地方去安排人”,比如这个题,我先给A地区派人,为,接下来再给B地方派人,为,所以共有种不同的分法。当我们指定地方去安排人时,在分好组时就已经考虑了排序在其中,因此就没有必要再进行全排列了,是相对最简单的一种操作。

那么,学完异素均匀分堆之后,让我们再来看看异素不均匀分堆:

不均匀分堆,是指分完后每一堆的数量不一样,比如说六个不同颜色的小球,分作三份,第一份3个,第二份2个,第三份1个,这就是异素不均匀分堆。

那么异素不均匀分堆的问题怎么解呢?我们来看一个例题:

【例3】书架上有6本不同的书,分为3组,其中每组分别有1、2、3本,则有多少种不同的分法?

根据上面的描述我们知道,这是一道异素不均匀分堆的问题。根据题意,我们可以先从6本中选取一本,形成1本的那组,即,接下来再从剩余五本中选取2本,形成2本的那组,即,最后从剩余的三本中选取三本,形成3本的那种,即,所以总列式为种。此时是不需要跟异素均分一样去考虑是否会选取重复的,这是为什么呢?因为我们此时选出来的每一组的数目都是不同的,是根本不可能出现重复的,所以并不需要像异素均分那样去除以,直接便是正确的列式了。

现在,各位同学能看出异素分堆中均分和不均分的差别吗?其实就是均分会出现重复选取的问题,需要除以;而不均分是不会出现重复选取的问题的,不需要除以。

但是我们的异素不均分的问题,其实还有一种分堆后还需要分配的问题,这种题型和刚才的问题有什么区别呢?让我们一起来看一道例题:

【例4】书架上有6本不同的书,分给甲乙丙三人,有一个人分1本,有一个人分2本,另外一个人分3本,则有多少种不同的分法?

根据上面的描述我们知道,这是一道异素不均匀分堆的问题。根据题意,我们可以先把6本书按照要求不均匀地分为三个组,然后再分配给三个人,要乘以。首先,要从6本中选取一本,形成1本的那组,即,接下来再从剩余五本中选取2本,形成2本的那组,即,最后从剩余的三本中选取三本,形成3本的那种,即,分堆的列式为种,然后再分配给甲、乙、丙三个人,是全排列的算法,要乘以一个,所以总的列式为种。

看完了上面四道例题,它们代表的就是异素分堆常考的所有四种类型。同学们现在能够分清这四种类型的区别和最优解法了吗?让我们一起来总结一下吧。

二、方法总结

1.异素均匀分堆,不需要分配时:

如n个元素,平均分成m堆,如果说每堆都可以分到k个,那么列式为:

2.异素均匀分堆,需要分配时:

如n个元素,平均分成m堆并且分配给m个对象,如果说每堆都可以分到k个,那么列式为:

3.异素不均匀分堆,不需要分配时:

如n个元素,平均分成m堆,如果说第一堆分到k1个,第二堆分到k2个,……,以此类推,那么列式为:

4.异素不均匀分堆,不需要分配时:

如n个元素,平均分成m堆,如果说第一堆分到k1个,第二堆分到k2个,……,以此类推,那么列式为:

×。

以上便是异素分堆常考的所有四种类型。通过这个总结,相信同学们应该对这类题目更加清楚了吧,好好进行学习和消化,相信以后遇到这类题目,应该就不会那么头疼了。希望同学们可以再去多做几道题目,体验一下我们总结的方法和公式,相信你以后做题会更加得心应手,更加信手拈来。


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